Newton, la gravedad y las matemáticas como la herramienta de la física. (II)

Continuamos con el breve repaso a Newton y a alguna de sus aportaciones, que son y han sido claves para entender el mundo que nos rodea. En el anterio post sobre le tema nos quedamos en la ley de la gravitación universal de Newton. Esta ley junto con las leyes del movimiento del propio Newton supusieron un gran salto adelante en la comprensión del Universo. Por ejemplo, a partir de la segunda ley de Newton y de la ley de la gravitación universal podemos deducir la tercera ley de Kepler para un cuerpo que se mueve en una órbita circular, recordemos, el enunciado de la tercera ley de Kepler:

El cuadrado del período de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia del planeta al Sol.

Un cuerpo en órbita circular que se mueve con una velocidad “v” experimenta una aceleración centrípeta, tal que:

De la segunda ley de Newton sabemos que un cuerpo sometido a una aceleración implica que hay una fuerza actuando sobre el mismo, de tal modo que se cumple que:

Si el objeto esta orbitando otro cuerpo, esa fuerza debe ser la fuerza de la gravedad por lo que igualando ambas expresiones obtenemos:

 Sustituyendo la aceleración centrípeta por su expresión y despejando la velocidad obtenemos:

La velocidad es el espacio recorrido entre el tiempo empleado para recorrerlo, en el caso de una órbita circular, el espacio recorrido en una vuelta es 2πr y el tiempo empleado en darla es el periodo T, es decir:

Igualando estas dos últimas expresiones:

La tercera ley de Kepler sirve para cualquier cuerpo que orbita otro, por ejemplo, también podríamos usarla para los satélites artificiales que orbitan la Tierra. Para poner un satélite en órbita, o enviar sondas espaciales hay que vencer el tirón gravitatorio de la Tierra. Por la experiencia cotidiana sabemos que cuanto con más velocidad lancemos un objeto al aire, más sube, y por lo tanto más tarde en caer. El comunicarle mayor velocidad a un cuerpo, consiste en definitiva en aumentar su energía cinética. Al estar en la superficie de la Tierra dicho cuerpo también tiene una energía gravitatoria, si la energía cinética supera a la gravitatoria entonces el objeto escapará de la gravedad terrestre y podría viajar por el espacio, en el caso límite de que sean iguales entonces el objeto quedaría orbitando la Tierra. Es decir, la energía total del cuerpo debería ser:

A partir de esta ecuación podemos deducir cual es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo abandone la superficie de la Tierra. Para ello sustituimos las energías por sus expresiones.

 La energía cinética de un cuerpo es:

Y la definición general de la energía potencial es:

 

Donde F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo y ds es el desplazamiento general que sufre el cuerpo, si particularizamos esta expresión para el caso de la fuerza gravitatoria de la Tierra obtenemos:

 

Para hallar el valor de la energía potencial hay que integrar ambos miembros de la ecuación, por lo que nos quedaría:

La integral es sencilla de resolver y el resultado es:

Donde U₀ es una constante de integración que para el caso que nos ocupa podemos darle el valor de cero en la superficie de la Tierra. Sustituyendo las energías por sus valores, obtenemos la siguiente expresión:

Operando un poco es fácil hallar cual es el valor de la velocidad que hay que comunicarle a un cuerpo para que pueda abandonar la Tierra:

Esta velocidad recibe el nombre de velocidad de escape, que en el caso de la Tierra su valor es de 11,2 km/s, es decir, si queremos lanzar un satélite de comunicaciones o una sonda espacial para investigar, por ejemplo, la radiación de fondo, tenemos que hacer que dicho satélite alcance la velocidad de escape ,si esto no es así dicho satélite caerá inexorablemente hacia la superficie de la Tierra. Aunque se ha tomado como ejemplo la Tierra el resultado es generalizable a cualquier otro cuerpo celeste, como por ejemplo la Luna, o el Sol.

Otro fenómeno cuya explicación reside en la interacción gravitatoria de varios objetos es el de las mares. La intensidad de la fuerza gravitatoria depende de la distancia, como bien se puede observar en su expresión matemática, a mayor distancia, menor será la fuerza gravitatoria. En el caso de la Tierra, la fuerza gravitatoria de la Luna es más intensa en el punto más próximo a ella y menos en el más alejado. Podemos estudiar la diferencia entre la fuerza gravitatoria en ambos puntos, diferencia que es la causante de las mareas:

Donde r es la distancia que separa los centros de la Luna y de la Tierra, y R el radio de la Tierra.

Aquí M es la masa del la Luna y m son dos masa idénticas situadas a ambos lado de la Tierra.

En el último paso se ha despreciado R² frente a r². Si m representa la masa de los océanos en dos puntos de la Tierra, estas masas oceánicas experimentan un tirón gravitatorio de diferente intensidad por lo que tenderán a separarse, si por simplicidad suponemos que la Tierra está completamente rodeada por los océanos estos tenderán a abombarse en la dirección en la que se encuentra la Luna:

Si tuviéramos en cuanta el giro de rotación de la Tierra este abombamiento no sucedería exactamente en la dirección en la que se encuentra la Luna.

El poder explicativo de la ley de la gravitación de Newton es increíble, además conseguía unificar fenómenos que antes parecían ser completamente inconexos, ya que la caída de un cuerpo aquí en la Tierra está causada por la misma fuerza de la gravedad que hace orbitar la Luna alrededor de la Tierra, los fenómenos celestes y terrestres respondían a una misma ley, la ley de la gravitación universal. Como ya hemos visto, la reticencia de Newton a publicar sus trabajos a punto estuvo de conseguir que este impresionante trabajo no viera la luz. Después de la publicación de los Principia Newton no haría aportes significantivos a la ciencia, se dedico a la política, llego a miembro del Parlamento, también empleo su tiempo en experimentos de alquimia, durante dichos experimentos probablemente trato con sustancias toxicas que le provocaron una grave crisis y depresión en 1692. Cuatro años después sería nombrado inspector de la Casa de la Moneda. Newton, uno de los mayores genios de la humanidad  moriría el 20 de marzo de 1727 y fue enterrado con todos los honores en la abadía de Westminster, donde sigue en la actualidad compartiendo sala con otro eminente científico ingles, Charles Darwin.

Lo que Newton nos dejo como herencia es la esencia del método científico actual, es decir, la elaboración de modelos matemáticos que se comparan con los fenómenos de la naturaleza, de dicha comparación surgen nuevos modelos matemáticos. En resumen, Newton fue el que convirtió las matemáticas en la herramienta fundamental de la ciencia física.

Ismael Pérez Fernández